Trong toán học và công nghệ máy tính, hàm floor cùng ceiling là các quy tắc đến tương ứng một trong những thực vào một trong những nguyên sớm nhất bên trái cùng bên buộc phải số vẫn cho.
Vậy floor(x) là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, còn ceiling(x) là số nguyên bé dại nhất không nhỏ dại hơn x. 1 ký hiệu
Ký hiệu
Gauss giới thiệu cặp ngoặc vuông mang lại hàm floor trong tương trợ bậc nhì (1808).<1>Nó vẫn luôn là ký hiệu tiêu chuẩn<2> trong toán học cho đến khi Iverson ra mắt các hàm “floor” với “ceiling” với những ký hiệu
⌊ x ⌋ displaystyle lfloor xrfloor
với
⌈ x ⌉ displaystyle lceil xrceil
vào khoảng thời gian 1962 trong ngôn ngữ lập trình APL của ông ấy.<3><4> hiện nay cả hai bí quyết ký hiệu vẫn đang rất được dùng vào toán học.
Trong rất nhiều công thức dưới đây x với y là những số thực, k, m, cùng n là những số nguyên, cùng
Z displaystyle mathbb Z
là tập đúng theo số nguyên (số dương, số âm, cùng không).
Floor với ceiling có thể được định nghĩa bởi tập phù hợp như sau
⌊ x ⌋ = max n ∈ Z ∣ n ≤ x , displaystyle lfloor xrfloor =max ,nin mathbb Z mid nleq x,
⌈ x ⌉ = min n ∈ Z ∣ n ≥ x . displaystyle lceil xrceil =min ,nin mathbb Z mid ngeq x.
Trong nửa khoảng có độ dài bằng một tất cả duy nhất một số nguyên, vậy cùng với số thực x tùy ý, có duy độc nhất cặp m, n thỏa mãn: x − 1 m ≤ x ≤ n x + 1. {displaystyle x-1
⌊ x ⌋ = m displaystyle lfloor xrfloor =m;
với ⌈ x ⌉ = n displaystyle ;lceil xrceil =n;
hoàn toàn có thể là định nghĩa cho những hàm floor và ceiling.
Phần lẻ x ký hiệu
x displaystyle x
là hàm số quan niệm theo cách làm sau,
x = x − ⌊ x ⌋ , displaystyle x=x-lfloor xrfloor ,
và toán tử mô-đun được khái niệm theo công thức: x hack y = x − y ⌊ x y ⌋ . displaystyle x,bmod ,y=x-yleftlfloor frac xyrightrfloor .
Tương đương
Các bí quyết dưới đây dùng làm rút gọn các biểu thức chứa các hàm floor, ceiling.<5>
⌊ x ⌋ = n ⇔ n ≤ x n + 1 , ⌈ x ⌉ = n ⇔ n − 1 x ≤ n , ⌊ x ⌋ = n ⇔ x − 1 n ≤ x , ⌈ x ⌉ = n ⇔ x ≤ n x + 1. {displaystyle {beginalignedlfloor xrfloor =n&;;Leftrightarrow &n&leq x
x n ⇔ ⌊ x ⌋ n , n x ⇔ n ⌈ x ⌉ , x ≤ n ⇔ ⌈ x ⌉ ≤ n , n ≤ x ⇔ n ≤ ⌊ x ⌋ . {displaystyle {beginalignedx
⌊ x + n ⌋ = ⌊ x ⌋ + n , ⌈ x + n ⌉ = ⌈ x ⌉ + n , x + n = x . displaystyle beginalignedlfloor x+nrfloor &=lfloor xrfloor +n,lceil x+nrceil &=lceil xrceil +n,x+n&=x.endaligned
Các bí quyết trên không đúng giả dụ n không hẳn số nguyên, tuy vậy: ⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ ≤ ⌊ x + y ⌋ ≤ ⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ + 1 , ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉ − 1 ≤ ⌈ x + y ⌉ ≤ ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉ . displaystyle beginaligned&lfloor xrfloor +lfloor yrfloor &leq ;lfloor x+yrfloor ;&leq ;lfloor xrfloor +lfloor yrfloor +1,&lceil xrceil +lceil yrceil -1&leq ;lceil x+yrceil ;&leq ;lceil xrceil +lceil yrceil .endaligned
Mối tương tác giữa các hàm
Từ định nghĩa thuận tiện có được ⌊ x ⌋ ≤ ⌈ x ⌉ , displaystyle lfloor xrfloor leq lceil xrceil ,
vết bằng xảy ra khi còn chỉ khi x là số nguyên, i.e. ⌈ x ⌉ − ⌊ x ⌋ = { if x ∈ Z 1 if x ∉ Z displaystyle lceil xrceil -lfloor xrfloor =begincases0&mbox if xin mathbb Z 1&mbox if xnot in mathbb Z endcases
n là số nguyên thì: ⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = n . displaystyle lfloor nrfloor =lceil nrceil =n.
Khi số âm là đối số thì đổi những hàm floor và ceil đồng thời gửi dấu trừ ra ngoài: ⌊ x ⌋ + ⌈ − x ⌉ = , displaystyle lfloor xrfloor +lceil -xrceil =0,
tức là: ⌊ − x ⌋ = − ⌈ x ⌉ , displaystyle lfloor -xrfloor =-lceil xrceil ,
⌈ − x ⌉ = − ⌊ x ⌋ , displaystyle lceil -xrceil =-lfloor xrfloor ,
⌊ x ⌋ + ⌊ − x ⌋ = { if x ∈ Z − 1 if x ∉ Z , displaystyle lfloor xrfloor +lfloor -xrfloor =begincases0&mbox if xin mathbb Z -1&mbox if xnot in mathbb Z ,endcases
⌈ x ⌉ + ⌈ − x ⌉ = { if x ∈ Z 1 if x ∉ Z . displaystyle lceil xrceil +lceil -xrceil =begincases0&mbox if xin mathbb Z 1&mbox if xnot in mathbb Z .endcases
Về phần lẻ: x + − x = sửa mã nguồn>Nếu n ≠ 0, ≤ m n ≤ 1 − 1 " title="Phần nguyên là gì? chi tiết về Phần nguyên tiên tiến nhất 2021 179">Mahler<23> đã minh chứng chỉ gồm hữu hạn số k như vậy; mặc dù người ta vẫn chưa chắc chắn số nào như vậy.Hàm số nguyên ngay sát nhất.Truncation, một hàm tương tự.Step function.
